이산형 확률변수(Discrete Random Variables)

확률변수의 정의

• 확률변수(Random Variables) : 확률변수는 특정 실험으로부터 각각의 결과들에 대하여 수치값을 할당함에 의해 얻어짐.
• 확률질량함수(Probability Mass Function) : 확률변수 X의 확률질량함수(p.m.f)는 이산형 확률변수가 취하는 개개의 값 $x_i$ 와 부여된 해당 확률값 $p_i$ 의 집합임. 이 확률값들은 $0 \leq p_i \leq 1, \sum_i{p_i} = 1$ 을 만족하여 다음과 같이 표기함.

$$ P(X=x_i)=p_i $$

누적분포함수(Cumulative Distribution Function)

• 누적분포함수 : 확률변수 X의 누적분포함수(c.d.f)는 함수 $F(x) = P(X \leq x)$ 와 같음.

연속형 확률변수

확률밀도함수

• 확률밀도함수(Probability density function) : 확률밀도함수 $f(x)$ 는 연속형 확률변수의 확률 특성을 정의하며, $f(x)>=1$ 이며 두 값 사이에 존재하는 확률은 두 값 사이의 확률밀도함수를 적분함에 의해 구함. ****

$$ \int_{state space}f(x)dx = 1 $$

누적분포함수

• 연속형 확률변수의 누적분포함수는 이산형의 경우와 동일함.

$$ F(x) = P(X \leq x) = \int^x_{-\infty}f(y)dy $$

기대값

• 기대값 혹은 평균이며, $E(x)$ 로 표기됨.

이산형 확률변수의 기대값

• 확률값 $p_i$ 와 값 $x_i$ 를 취하는 이산형 확률변수 X의 기대값은 ⬇️이다. $E(X)$ 는 확률변수가 취하는 평균의 요약척도를 제공해주며, 그 확률변수의 평균이라고도 한다.

$$ E(X) = \sum_ip_ix_i $$

연속형 확률변수의 기대값