균일분포
균일분포의 정의
- 균일분포 : 두 점 a와 b 사이에 평평한 확률밀도함수를 가지는 확률변수 X는 균일분포를 따르며 확률밀도함수는
$$
f(x)=\frac{1}{b-a},a\leq x\leq b
$$
이며 $X$ ~ $U(a,b)$ 로 표현함. 누적분포함수는
$$
F(x)=\frac{x-a}{b-a},a\leq x\leq b
$$
이며
$$
E(X)=\frac{a+b}{2},Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}
$$
지수분포
지수분포의 정의
- 지수분포 : $x \geq 0$ 의 상태공간을 가지며, 고장이나 대기시간 혹은 도착간 시간을 모형화하기 위해 사용됨. 모수 $\lambda > 0$ 을 가지는 지수분포의 확률밀도함수는
$$
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq 0
$$
이며, 누적분포함수는
$$
F(x)=1-e^{-\lambda x},x\geq 0
$$
이며, 기대값과 분산은 각각
$$
E(X)=\frac{1}{\lambda}, Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}
$$
지수분포의 무기억성
- 지수분포의 중요한 측면은 무기억성으로 만약 X가 모수 $\lambda$ 인 지수분포라면, 임의의 고정된 값 $x_0$ 에 대해 $X\geq x_0$ 조건하에 $X - x_0$ 의 분포도 역시 모수 $\lambda$ 인 지수분포를 따르는 것을 나타냄. 즉 만약 X를 어떤 사건이 발생할 때까지 소요시간을 나타내는 확률변수로 정의하고 특정 시점 $x_0$ 까지 그 사건이 발생하지 않았다고 한다면, $x_0$ 시점 이후에 그 사건이 발생할 때까지 추가적으로 기다리는 시간은 역시 모수 $\lambda$ 인 지수분포를 따름. 만약 X가 모수 $\lambda$ 인 지수분포를 따른다면,
$$
P(X\geq x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}
$$
이며, 확률변수 Y를 $x_0$ 이후에 사건이 발생할때까지의 경과시간으로 정의하면