정규분포를 통한 확률계산

정규분포의 정의

• 정규분포 : 가우시안 분포라고도 불리며 이러한 확률밀도함수는

$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-u)^2/2\sigma^2},-\infin\leq x\leq \infin $$

이며, 두 모수 $u$ 와 $\sigma$ 에 의해 결정됨. 정규분포의 평균과 분산은 각각

$$ E(X)=u,Var(X)=\sigma^2 $$

로, 확률밀도함수는 평균 $\sigma$ 에 의해 좌우대칭인 종모양 형태를 띄고 있음. 평균이 $u$ 이며 분산이 $\sigma^2$ 인 정규분포를 따르는 확률변수 X에 대해 $X$ ~ $N(u,\sigma^2)$ 로 표기함.

정규분포의 확률계산

• 정규분포의 확률계산 : 만약 $X$ ~ $N(u, \sigma^2)$ 이면

$$ Z=\frac{X-u}{\sigma} \sim N(0,1) $$

확률변수 Z는 확률변수 X의 표준화 형태라고 함. 일반적인 정규분포의 확률값은

$$ P(a\leq X\leq b)=\Phi(\frac{b-u}{\sigma})-\Phi(\frac{a-u}{\sigma}) $$

($\Phi$ 는 누적분포함수, $\varphi$ 는 확률밀도함수)와 같은 관계식을 통해 표준정규분포의 누적분포함수 $\Phi(x)$ 와 연관시킬 수 있음.

• 정규확률변수
  • 정규확률변수가 평균의 1 표준편차( $\sigma$ ) 내에 값을 취할 확률은 약 68%임.
  • 정규확률변수가 평균의 2 표준편차( $\sigma$ ) 내에 값을 취할 확률은 약 95%임.
  • 정규확률변수가 평균의 3 표준편차( $\sigma$ ) 내에 값을 취할 확률은 약 99.7%임.

정규확률변수의 선형결합

정규확률변수의 선형결합의 분포

• 정규확률변수의 선형 함수 : 만약 $X\sim N(u, \sigma^2)$ 이고, a와 b가 상수일 때

$$ Y=aX+b\sim N(au+ b, a^2\sigma^2) $$

• 두 독립인 정규확률변수들의 합 : 만약 $X_1\sim N(u_1, \sigma_1^2)$ 이고 $X_2\sim N(u_2, \sigma_2^2)$ 이라고 하며 $X_1, X_2$ 가 서로 독립일 때

$$ Y=X_1+X_2\sim N(u_1+u_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) $$