신뢰구간
신뢰구간의 계산
- 신뢰구간 : 미지의 모수 $\theta$에 대한 신뢰구간은 그 모수가 존재할 것 같은 구간으로, 미지의 모수를 포함하고 있을 확률의 척도인 신뢰수준 $1-\alpha$와 연관이 있음.
- 모평균의 추정 : t-절차에 기반한 평균의 추정 방법은 표본 크기가 30 이상이거나 만약 표본 크기가 작을 경우 확률분들이 정규분포를 따를 경우에 적절한 방법임.정규분포를 따르지 않는 작은 수의 표본에 대해서는 비모수적 방법 등이 적용될 수 있음.
- 양측 t-구간 : 표본평균이 $\bar{x}$이며 표본 표준편차가 $s$인 $n$개의 연속형 자료의 표본에 대한 신뢰수준 $1-\alpha$를 가지는 모평균의 양측 신뢰구간은 ⬇️
$$
\mu \in (\bar{x}-\frac{t_{a/2,n-1}s}{\sqrt{x}},\bar{x}+\frac{t_{a/2,n-1}s}{\sqrt{n}})
$$
- 신뢰구간의 길이에 대한 신뢰수준의 영향 : 신뢰구간의 길이는 임계값에 영향을 주는 신뢰수준 $1-\alpha$가 증가하게 되면, 신뢰구간의 길이 또한 증가함.
신뢰구간에 대한 표본 크기의 영향
- 신뢰구간에 대한 표본 크기의 영향 : 특정 임계값에 대하여 신뢰구간의 길이 $L$은 표본 크기 $n$의 제곱근에 반비례함.
- 단측 t-구간 : 표본평균 $\bar{x}$와 표본 표준편차 $s$인 $n$개의 연속형 관측치로부터 구한 모평균 $\mu$에 대한 신뢰수준 $1-\alpha$를 가지는 단측 신뢰구간
$$
\mu \in (-\infin,\bar{x}+\frac{t_{a,n-1}s}{\sqrt{x}})
$$
은 모평균 $\mu$에 대한 상한을 제공하고
$$
\mu \in (\bar{x}-\frac{t_{a,n-1}s}{\sqrt{x}},\infin)
$$
은 모평균 $\mu$에 대한 하한을 제공함. 이 신뢰구간들은 단측 t-구간이라고 함.
z-구간