$$ F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2), F(kv)=kF(v) $$
를 만족할 때에 “선형성을 지닌다”고 볼 수 있다.
$$ \begin{pmatrix} \acute{x} \\ \acute{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
처럼 표현될 수 있다. 이 중 u, v는 변환된 선형공간의 새 기저(어떤 벡터공간의 벡터들이 선형독립이며 벡터공간 전체를 생성할 수 있을 때 이 벡터들의 집합을 말함)이며, 이에 따라 선형변환은 $1\times 1$ 정사각공간을 넓이가 $u\times v$ 인 평행사변형 공간으로 변환한다.
$$ \begin{pmatrix} \acute{x} \\ \acute{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
크기변경은
$$ \begin{pmatrix} \acute{x} \\ \acute{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
평행이동은
$$ \begin{pmatrix} \acute{x} \\ \acute{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix} $$
으로 표현할 수 있다. 하지만 회전과 크기변경에 평행이동까지 포함하려면 $2\times 3$ 행렬이 필요하다. 이와 같이 $2\times 3$ 행렬로 변환 행렬을 구성하는 것을 아핀변환이라 한다.
$$ \begin{pmatrix} \acute{x} \\ \acute{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $$
아핀변환은 변환 전과 변환 후의 두 아핀공간 사이의 공선점(한 직선 상에 있는 점들)을 보존하는 변환이다. 결국 변환 전의 직선은 변환 후에도 직선이며, 거리의 비와 평행선도 유지된다는 것이다.
아핀변환
$$ Y=f(X)=WX+b $$