이항분포

베르누이 확률변수

• 베르누이 확률변수 : 모수 $p, 0 \leq p \leq 1$ 을 가지는 베르누이 확률변수 X는 0 또는 1의 값을 가지며 $P(X=0)=1-p, P(X=1)=p$ 이다. X의 기대값 및 분산은 ⬇️

$$ E(X)=p, Var(X)=p(1-p) $$

이항분포의 정의

• 이항분포 : n 베르누이 시행, 시행은 상호 독립, 각각은 p의 일정한 성공확률을 가질 때 성공의 총수를 나타내는 확률변수 X는 모두 n과 p를 가지는 이항분포를 따르며, $X$ ~ $B(n,p)$ 로 표현함. $B(n,p)$ 확률변수의 확률질량함수는

$$ P(X=x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x},x=0,1,2,...,n $$

이며

$$ E(X)=np, Var(X)=np(1-p) $$

• 좌우대칭 이항분포 : $B(n, 0.5)$ 분포는 모수 n의 특정값에 대해 좌우대칭임. 이 경우 분포는 기대값 n/2에 대해 좌우대칭이 됨.
• 베르누이 시행의 성공 비율 : 확률변수 X를 성공확률 p인 독립 베르누이 시행의 성공 횟수, 즉 $X$ ~ $B(n,p)$ 로 정의할 때, 성공 비율 $Y=X/n$ 의 기대값 및 분산은

$$ E(Y)=p, Var(Y)=\frac{p(1-p)}{n} $$

기하 분포 및 음이항 분포

기하분포의 정의

• 기하분포 : 성공확률 p를 가지는 일련의 독립 베르누이 시행에서 첫번째 성공이 발생할 때까지 실시해야만 하는 총 시행 횟수는 모수 p를 가지는 기하분포를 가지며, 그 확률질량함수는

$$ P(X=x)=(1-P)^{x-1}p, x=1,2,3,4,... $$

이며, 누적분포함수는

$$ P(X \leq x)=1-(1-p)^x $$

임. 모수 p를 가지는 기하분포의 평균 및 분산은 각각

$$ E(X)= \frac{1}{p},Var(X)=\frac{1-p}{p^2} $$